問56　2022年5月応用

《設例》の〈Ｙファンド・Ｚファンドの実績収益率・標準偏差・共分散〉に基づいて、(1)ＹファンドとＺファンドの相関係数、(2)Ｙファンドのシャープ・レシオ、(3)ＹファンドとＺファンドをそれぞれ６：４の割合で購入した場合のポートフォリオの標準偏差を、それぞれ求めなさい。〔計算過程〕を示し、〈答〉は表示単位の小数点以下第３位を四捨五入し、小数点以下第２位までを解答すること。なお、シャープ・レシオについては、安全資産利子率を0.10％として計算すること。

ポートフォリオの相関係数、シャープ・レシオ、標準偏差に関する問題です。

２つの資産間の相関係数は、２つの資産の共分散を、それぞれの資産の標準偏差の積で除して算出します。
相関係数＝共分散／(標準偏差A×標準偏差B)

本問の場合、Ｙ・Ｚファンドの共分散は80.00、標準偏差はＹが10.00％、Ｚが25.00％ですから、
Ｙ・Ｚファンドの相関係数＝80.00／(10.00％×25.00％)＝0.32

次に、シャープ・レシオ＝(ポートフォリオの収益率−安全資産利子率)÷標準偏差　です。
Yファンドの場合、収益率6.00％、標準偏差10.00％ですから、安全資産利子率0.10％とした場合、
シャープ・レシオ＝(6.00％−0.10％)÷10.00％
　　　　　　　　＝5.90％÷10.00％
　　　　　　　　＝0.59

最後に標準偏差ですが、標準偏差＝「分散」の平方根 です。よってまずは分散を求めます。
分散＝(各資産の投資割合の2乗×各資産の標準偏差の2乗)の総和＋2×各資産の投資割合の積×各資産の標準偏差の積×相関係数

分散＝0.6^2×10.00^2＋0.4^2×25.00^2＋2×0.6×0.4×10.00×25.00×0.32
　　＝36.00＋100.00＋38.40＝174.40
分散174.40の平方根＝13.206…→13.21％（小数点以下第3位四捨五入）

なお、設例で相関係数が提示されておらず、共分散が提示されている場合、以下の式から分散を算出可能です。
分散＝(各資産の投資割合の2乗×各資産の標準偏差の2乗)の総和＋2×各資産の投資割合の積×各資産の標準偏差の積×相関係数
　　＝(各資産の投資割合の2乗×各資産の標準偏差の2乗)の総和＋2×各資産の投資割合の積×共分散

相関係数＝共分散／(標準偏差A×標準偏差B)であり、上記の最初の式に当てはめると、「各資産の標準偏差の積」と「(標準偏差A×標準偏差B)」が約分できますので、式の後半部分は、「2×各資産の投資割合の積×共分散」とすることが可能なわけです。

以上により正解は、(1)0.32　(2)0.59　(3)13.21（％）

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